Архив рубрики: Я_математика

Будем предполагать, что искомая функция y=y(t)  явл. реш. ур. при нач. усл. Удовлетворяет 3 усл.: 1. Функция y=y(t) определена и кус-непр. В промежутке (0;∞) т.е. может иметь не более конечного числа точек разрыва первого рода в каждом промежутке конечной длины. … Читать далее →

Рассмотрим 2 случая: а) если число α+iβ не явл. корнем хар. уравнения, то частное решение Н.Л.Д.У. может быть найдено в виде =U(x)eαxcosβx+V(x)eαxsinβx, где U(x) и V(x) –многочлены степень кот. равна наивысшей степени m многочленов P(x) и Q(x) б) если же … Читать далее →

Будем искать решение л.н.д.у. 2-го порядка: y»+py’+qy=f(x)(1) в том же виде, как и общее решение соответствующего о.у. y»+py’+qy=0(2) заменяя произвольные постоянные некоторыми  непрерывно дифференцируемыми функциями от x ,т.е. y=c1(x)y1+c2(x)y2(3) где y1 и y2-линейно независимые решения уравнения (2). Эти функции подчинены … Читать далее →

Известно, что если коэффициенты характеристического  ур-я действительные числа, то комплексные корни такого ур-я сопряжены. Пусть корнями характеристического ур-я явл числа, тогда по формуле y=ekx будем иметь два решения y1=ek1x=e(+i)x; y2=ek2x=e(-i)x; Примерная формула Эйлера, выражение можно записать в виде: y1=ex(Сosx+iSinx); y2=ex(Сosx-iSinx) … Читать далее →

Теорема. Если y1=1(x) и y2=2(x)-линейно независимые реш. Л.О.Д.У. 2-го порядка yp1(x)yp2(x)y=0,  (1) то общее реш. этого ур-ния: y=c1y1+c2y2, (2) где с1 и с2-произвольные постоянные. Док-во. Покажем, что ф-ция (2) удовлетворяет обоим требованиям из опр-ния общего реш. 1.Действительно, по св-ву 3 … Читать далее →

Особенность ур-ния вида (3) состоит в том, что оно явно не содержит переменной X. Оно тоже допускает понижение порядка. С этой целью положим, y= p учитывая при этом, что p = p(y), где y = y(x) – искомое реш. Поэтому   … Читать далее →

Дифференциальное ур-е n-го порядка имеет вид: F(x,y,y`,…,y(n))=0. (1) В виде разрешенном тоносительно старшей производной его можно записать так: y(n)=f(x,y,y`,…,y(n-1)). (2) ОПР: Решением ур-й (1) и (2) мы условились наз всякую ф-ию у=(х), кот при подстановке ее в ур-е обращает его … Читать далее →

ОПР: ДУ 1-го порядка наз однородным, если его можно записать в виде y`=(y/x) (1), где y/x – ф-ия от  относительной переменной. В частности ур-е записывается в виде y`=f(x,y) будет однородным, если f(x,y) есть отношение 2-х однородных многочленов одной и тойже … Читать далее →

С-ва четных и нечетных функций: 1.         Произведение двух четн. И нечетн. ф-ций есть ф-ция четная. 2.         Произведение четн и нечетн ф-ции есть нечетн ф-ция 3.         Если f(t) нечетн,то 4.         Если f(t) четн, то Пусть ф-ия f(x) периодична четная, учитывая что … Читать далее →

Пусть ф-ция f(t) удовлетворяет услов Дирихле на отрезке  [-T/2;T/2] тогда для этой ф-ции можно составить ряд Фурье: (1) (2) n=0,1,2… n=1,2… По известным формулам Эйлера ei=cos+isin                     e-i=cos – isin cos=(ei+e-i)/2                sin=(ei-e-i)/2 cosnt=(ein+e-in)/2 sinnt= (ein+e-in)/2i=  i/2(e-in+ein) Подставим получ выраж в равенство … Читать далее →