В работе определены три новые конструкции полутел, которые будут использованы в дальнейшем исследовании полутел.
Введение
Множество с бинарными операциями и и нульарными и называется полукольцом [1], если – моноид, – коммутативный моноид, и .
При таком определении полукольца образуют многообразие с морфизмами, сохраняющими все четыре операции, и, следовательно, переводящими противоположные элементы в противоположные, а взаимно обратные – во взаимно обратные.
Ассоциативные кольца с единицей (далее просто кольца) являются частным случаем полуколец. Из соображений универсальной алгебры каждое полукольцо обладает своим кольцом разностей. То есть для любого полукольца существуют единственное кольцо и морфизм такие, что для любого кольца и любого морфизма существует единственный морфизм , для которого . Здесь и далее при использовании мультипликативной записи композиции отображений подразумеваем, что первым действует правое отображение. Конструкция кольца разностей достаточно проста: на множестве , где , вводятся кольцевые операции, подразумевая под парой разность . Понятно, что полукольцо вкладывается в кольцо разностей тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет квазитождеству , такие полукольца называются сократимыми. Другой крайний случай, когда кольцо разностей тривиально (одноэлементно), для этого необходимо и достаточно, чтобы любые два элемента полукольца уравнивались, т.е. .
Еще один частный случай полукольца – полутело – множество, являющееся одновременно мультипликативной группой и аддитивной коммутативной полугруппой, причем умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон. При таком определении, строго говоря, полутело полукольцом не является, но множество с естественно доопределенными операциями становится полукольцом. Из некоторых соображений мы все-таки будем пользоваться данным определением. Полутело с коммутативным умножением называется полуполем.
Loading ...