Так же как и кольца, полутела образуют многообразие, но, в отличие от многообразия колец, многообразие полутел не является подмногообразием многообразия полуколец. Согласно универсальной алгебре существуют копроизведения полутел. То есть для любого семейства полутел существуют единственное полутело и морфизмы такие, что для любого полутела и любых морфизмов существует единственный морфизм , для которого при всех из . Конструкция копроизведения, в отличие от кольца разностей, более сложная и не такая явная.
Полутело называется идемпотентным, если в нем выполняется тождество .
Полутело назовем зероидным, если выполняется одно из равносильных условий: 1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Очевидно, идемпотентное полутело является зероидным. Как показывает следующая конструкция, существуют зероидные неидемпотентные полутела [2].
Пусть – полутело, – линейно упорядоченная группа. На прямом произведении мультипликативных групп определим операцию сложение:
Коммутативность сложения очевидна. Ассоциативность сложения и дистрибутивность умножения относительно сложения легко проверяются. Полученное полутело при нетривиальной группе всегда зероидно, а если – неидемпотентное полутело, то неидемпотентно.
Отметим, что строению полутел посвящена статья [3].
Сейчас приведем три новые конструкции полутел, интересные сами по себе и своими применениями.
1. Обобщенное матричное полутело
Пусть – произвольные непустые непересекающиеся множества, количество которых конечно или бесконечно, и . Пусть, также, определены две функции такие, что влечет и влечет , где для композиций этих функций используется мультипликативная запись. Полученную конструкцию назовем формой. Сейчас каждому элементу поставим в соответствие полутело , а каждому кольцо (возможно тривиальное) так, что для любого можно фиксировать два морфизма: и , для которых при каждом .
Последнее условие позволяет однозначно построить морфизм из в для любого и для любых неотрицательных целых и , . Действительно, чередуя функции и , из в можно прийти разными путями. Для каждого пути строится композиция соответствующих морфизмов, но, как нетрудно видеть, все эти композиции будут совпадать. Результат применения полученного морфизма к элементу будем обозначать . Таким образом, .
На множестве определим операции и следующим образом.
. Очевидно, – коммутативная полугруппа, поскольку является прямым произведением коммутативных полугрупп .
при .
Дистрибутивность с обеих сторон умножения относительно сложения очевидна. Докажем ассоциативность умножения в . Пусть , тогда
.
Покажем, что множество по умножению – группа. Для этого достаточно найти такой элемент , что для любого существует , для которого верны равенства и . Положим . Тогда в формуле при все слагаемые, кроме одного – , будут нулевыми. Итак, . Покажем сейчас индукцией по , что мы можем подобрать значения функции в точках , не меняя значений в точках так, что при . При положим , поскольку – элемент полутела , то он обратим. Очевидно, . Пусть, теперь, и функция уже определена в точках и в этих точках . Для каждого положим . Это определение корректно, поскольку , значит, – элемент полутела, кроме того, , следовательно, функция уже определена в этих точках. Тогда при . При этом мы не изменили для . Индукция доказана. Значит, мы можем определить функцию во всех точках так, что . В действительности, можно выписать явную формулу для , но она громоздка и вряд ли больше отражает ситуацию.
Таким образом, умножение – групповая операция, и построенное множество функций – полутело, которое можно назвать обобщенным матричным полутелом.
Loading ...