2. Формальные бесконечные суммы
Хорошо известно, что для упорядоченного множества эквивалентны условия минимальности, индуктивности и обрыва убывающих цепей.
Упорядоченное множество называется множеством с условием конечной минимальности (КМ-множеством), если выполняется одно из равносильных условий [4]:
1. Во всяком непустом его подмножестве множество минимальных элементов не пусто и конечно.
2. Оно удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей и всякая его антицепь конечна.
3. Во всяком бесконечном его подмножестве можно выбрать (строго) возрастающую (бесконечную) последовательность.
4. Во всякой последовательности , его элементов найдутся .
Прямое произведение упорядоченных множеств , есть с порядком для всех . Прямое произведение КМ-множеств будет КМ-множеством, если и только если неодноэлементных среди них конечное число [4].
Лемма. Если и – КМ-подмножества упорядоченной группы , то:
a) для любого множество конечно;
b) есть КМ-подмножество.
Доказательство. а) Поскольку неравенство элементов влечет неравенство элементов , то искомое множество будет антицепью в КМ-множестве , значит, будет конечным.
b) Для каждого выберем элемент такой, что . Пусть – бесконечное подмножество , тогда в соответствующем ему бесконечном подмножестве произведения можно выбрать возрастающую последовательность , которой, в силу указанного следствия неравенств, будет соответствовать возрастающая последовательность в .
Пусть – произвольная решеточно упорядоченная группа, – ее – подгруппа, – полутело, – ассоциативное кольцо с единицей (возможно тривиальное), – полукольцевой морфизм сохраняющий 1.
Рассмотрим множество всех функций (дизъюнктное объединение), которые переводят в только один элемент из – , и носитель которых – – КМ-множество с наименьшим элементом . Умножение на определим так:
.
Мы подразумеваем, что , если , и , если . Кроме того, для , и бесконечная сумма нулей есть нуль.
Понятно, что если , то . Если же , то можем считать, что , и, в силу леммы a), в каждой сумме конечное число ненулевых слагаемых. Таким образом, – функция, носитель которой в силу леммы b) является КМ-множеством, а наименьший элемент – . Следовательно, операция определена корректно. Ее ассоциативность очевидна. Покажем, что она групповая.
Сложение на определим так:
где результат в квадратных скобках равен 1, если там стоит верное высказывание, и 0 если неверное.
Нетрудно видеть, что операция определена корректно, и она будет ассоциативной и коммутативной. Вообще:
Дистрибутивность тоже нетрудно проверить. Значит, – полутело. Если в этой формуле заменить на и на , то получим другое сложение.
При частных условиях можно определить другие сложения.
1. :
. Вместо можно взять .
2. – линейная.
или
Loading ...