Третий шаг.
|
x |
|
y |
|
D |
|
3h |
|
j |
|
y |
Рассмотрим случай, когда область D
– простая относительно оси Ox, причем при некотором h>0
на [c, d]. Рассмотрим кривые Г1h и Г2h, лежащие между j и yррррраапк и отстоящие от них на h (т. е. мнимальное расстояние между кривыми будет не меньше h). Впишем в них ломаные Л1h и Л2h, построенные с помощью разбиения t достаточно малой мелкости отрезка [c, d].
По лемме об аппроксимации криволинейного интеграла второго рода по гладкой кривой интегралом по вписанной ломаной,
(i = 1, 2) при
.
Область, ограниченная кривыми Г1h и Г2h при уÎ[c, d], входит в D. Из шага 2 следует, что
. При
формула примет вид
.
При h ® 0
левая часть стремится к
, а правая – к
. Чтобы доказать формулу (*), достаточно перейти к пределу.
Четвертый шаг.
|
x |
|
y |
|
D |
|
e |
|
j |
|
y |
|
c |
|
d |
Пусть область – простая относительно Ox с кусочно-гладкими кривыми, причем на концах отрезка [c, d] значения кривых j(y) и y(y) могут совпадать. Тогда для
– область, границы которой отстоят на e
от границ области D. В силу результата шага 3 формула будет верна для такой области. При переходе к пределу при e
® 0 формула (*) будет установлена.
Пятый шаг.
Установим формулу (*) при предположении, что область D может быть разрезана на конечное число простых областей
.
Для каждой из областей Di формула примет вид
, где (1 £
i £ I).
При почленном сложении левых частей этих равенств получится 
, т. е. левая часть формулы (*) (используются свойства аддитивности по области интегрирования и равенства интеграла нулю по множеству нулевой меры).
– объединение «внутренней» и «внешней» частей границы
. Очевидно, что
.
Пусть 
. Тогда это множество представляет собой отрезок, ориентированный положительно относительно Di и отрицательно относительно Dj. При сложении правых частей интегралы по отрезкам Eij взаимно уничтожатся. Поэтому 
.
Формула (*) установлена.
Источник: О. В. Бесов. Формула Грина. «Математика в высшем образовании» №3. 2005.
Loading ...