Частные производные второго порядка

Ф-ия z=f(x,y) имеет частные переменные первого порядка

Каждое из этих переменных имеет две частные производные, таким образом получим четыре частных производных 2-го порядка.

Теорема: Если в некоторой окрестности (.) М(х,у) ф-ия  z=f(x,y) имеет непрерывное смещение честной производной, то в этой (.) они равны между собой

f `xy(x,y)=f `yx(x,y);

ОПР: Полным дифиренцалом 2-го порядка наз полным дифиренциалом от полного диф. 1-го порядка.

d2z=d(dz);

4. Сложная ф-ия вида z=f(u,v), где u=φ(x,y) v=(x,y). Теорема о частных производных. Сложные ф-ии z=f(u,v), где u=φ(x), v=(x); z=f(x,y), где y=y(x)

Пусть имеем три ф-ии z=f(u,v), где u=(x,y)  v=q(x,y)  (1)

Подставляя в равенствах (1) переменные u,v, получим z=f((x,y),q(x,y)), т.е. переменная z является ф-ией независимых переменных x,y. Задание ф-ии z независимых переменных  x,y с помощью равенства (1) определяет ее как сложную ф-ию, u,v промежуточные переменные.

Теорема: частные производные второго порядка: Если ф-ия u=(x,y) и v=q(x,y) диференцируемы в (.) М(x,y), а ф-ия z=f(u,v) диф в соответствующей (.) (u,v), где u=(x,y); v=q(x,y), то частные переменные сложной функции определяется равенством (1), по независимым переменным x,y вычисляемым по функцияям:

Док-во: допустим х приращение Δх при котором значение у, тогда частное приращение Δxu, Δxv, а ф-ия z получит полное приращение Δxz. Ф-ия z=f(u,v) дифиренцируема в (.) (u,v), т.е существует в этой (.) ее полный дифиренциал. Выразим полное приращение этой ф-ии через ее полный дифиренциал б.м. наиболее высшего порядка малости, чем = Δxu2+Δxv2  Δxz=dxz+ или

Разделим на Δx получим:

перейдем к linΔx0;

Ф-ии u=(x,y) и v=q(x,y) дифиринцируема в (.) (x,y)n поэтому существуют непрерывные частные производные:

для у аналогично                                                     ч.т.д.

Рассмотрим сложную ф-ию, которая зависит от одной неизвестной переменной х, какнепосредственно, так и посредством промежуточного аргумента у, т.е. z=f(x,y), где y=(x). Обыкновенная переменная по независимой переменной х наз. в этом случае полной производной;


Похожие статьи
Главная » Я_математика » Частные производные второго порядка