Базис на прямой (оси) – любой ненулевой вектор, совпадающий по направлению с примой (осью)
Базис на плоскости – система любых двух линейно независимых векторов (неколлинеарных), взятых в определенном порядке.
Базис в пространстве – система любых трех линейно независимых векторов (некомпланарных), взятых в определенном порядке.
Векторы , составляющие базис в пространстве, называются базисными.
• Коэффициент линейной комбинации в линейном мире – модуль вектора.
• Пусть компланарен плоскости, в которой выбран базис
=
- разложение вектора по базису
• В пространстве:
=
- разложение вектора по базису в пространстве
- координаты в базисе, образованном векторами
Теорема (о единственном разложении вектора по базису): разложение вектора по базису единственно.
Теорема: при сложении векторов координаты складываются, а при умножении на скаляр – умножаются на этот скаляр.
Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов в координатной плоскости:
2 вектора || в т. и т.т. случае, если их координаты пропорциональны.
Метод Гаусса: координаты вектора в базисе
Для решения неоднородных систем линейных уравнений.
Рассмотрим расширенную матрицу системы и путем эквивалентных преобразований (умножение, прибавление к любой строке линейную комбинацию других строк, перемена любах строк местами, вычеркивание нулей строки) приводим ее к ступенчатому виду. Преобразованная система задает систему, которая легко решается.
Декартова система координат (д.с.к.)
Совокупность трех взаимно перпендикулярных осей (Ox,Oy,Oz – оси д.с.к.) и точки пересечения этих осей (O –начало координат) задают д.с.к.
- декартовы координаты вектора
Теорема: декартовы координаты вектора совпадают с проекцией этого вектора на оси координат
Свойства:
1.
2 свойство направляющих косинусов:
3. (т.к. )
4. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов в базисе:
Радиус вектор и координаты точки
- радиус вектор точки М
Координатами точки М называют проекции этой точки на соответствующие оси
Пусть в пространстве заданы 2 точки А и В
Частные случаи:
1.
2. (ось):
Определения: точка М делит АВ в отношении , если
Замечание: если , то >0
, то <0
при =1 – координаты середины отрезка
Loading ...