|
L |
|
x |
|
y |
|
G |
|
рис. 1 |
|
О |
 |
Пусть в состоянии покоя (без натяжения) мембрана располагается в плоскости (x, y) и имеет форму некоторой плоской области G с границей
(рис. 1). Предположим, что на мембрану действует некоторая сила, плотность которой в точке (x, y) равна f (x, y), а направление – перпендикулярно плоскости Oxy. Под действием этой силы мембрана прогнется и примет форму некоторой поверхности, уравнение которой запишем в виде U = U(x, y). Ось U перпендикулярна к плоскости
Oxy.
В курсе «уравнения математической физики» выводится уравнение, которому удовлетворяет функция U(x, y). Этот вывод осуществляется при следующих ограничениях. Во-первых, предполагается, что в интересующем нас положении мембрана не сильно изогнута. Другими словами, что
и
малы по абсолютной величине, и можно пренебречь высшими степенями этих производных. Во-вторых, предполагается, что под действием силы f(x, y) точки мембраны двигаются только по перпендикулярам к плоскости Oxy, так что их координаты (x, y) при этом не меняются.
При сделанных предположениях доказано, что для положения равновесия функция U(x, y) в любой внутренней точке удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных
, где
. (1)
Это уравнение называется уравнением Пуассона, а оператор
– оператор Лапласа.
Для единственной разрешимости одного уравнения Пуассона недостаточно. Необходимо положить некоторые условия на границе (граничные условия). Пусть край мембраны закреплен вдоль некоторой пространственной кривой, проектирующейся в L. Иными словами на границе L функция U(x, y) принимает те же значения, что и функция
. (2)
Loading ...