Окончательная форма математической модели – дифференциальное уравнение в частных производных (1) и граничные условий (2). Эта математическая модель носит название задачи Дирихле. В теории уравнений с частными производными задача Дирихле полностью исследована. Доказано существование и единственность решения при некоторых ограничениях налагаемых на гладкость границы L и граничной функции
.
Вычислительная модель
Вычислительная модель предполагает дискретизацию непрерывной математической модели с целью максимального ее приближения к виду, для которого возможно получение решения на компьютере.
1. Дискретизация области G. Выбираем h – шаг по оси Ox и
- шаг по оси Oy. Построим две системы взаимно перпендикулярных прямых
|
рис. 2 |
 |
Пересечение этих двух семейств прямых дает систему точек
- узлов сетки (рис. 2).
Множество узлов
назовем
. Исходную область G заменяем (дискретизируем) множеством узловых точек
.
2. Дискретизация производных. Множество
разобьем на два типа. Назовем внутренними узлами такие узлы
из
, для которых соседние узлы
,
,
,
принадлежат
. Множество внутренних узлов обозначим
. Остальные узлы из
будем называть граничными. В каждом внутреннем узле сделаем замену производных разностными отношениями (аппроксимируем) в соответствии с формулами
Известно, что точность аппроксимации
O(h2), а
O(t2).
Подставляя во всех внутренних точках в уравнение Пуассона (1) соответствующие разностные отношения, и обозначив
, получаем
(3)
для всех
.
Будем считать, что в множестве
всего N внутренних точек. Таким образом, (3) представляет собой систему из N линейных уравнений относительно Uk,i. Если N1 – количество граничных узлов, то для того, чтобы можно было говорить о решении системы линейных алгебраических уравнений необходимо дополнить систему (3)
N1 уравнениями. Сделаем это с помощью метода, известного как метод простого сноса учета граничных условий. Точнее сделаем следующее:
а) если граничный узел
, то полагаем
;
б) если граничный узел
, то полагаем
Uk,i =j(x, y), (4)
где точка (x, y) – ближайшая к граничной точке (xk, yi), лежащая на границе L.
Если в (4) возможны два варианта, то выбирается любой из них. Общее количество равенств N1.
Loading ...