Учет граничных условий простым сносом и систем (3) приводит к системе N линейных алгебраических уравнений с N неизвестными.
Замечание. Поскольку оси координат Ox и Oy в рассматриваемой задаче равноправны, то шаги по Ox и по Oy можно выбирать одинаковыми, то есть h = t. В дальнейшем будем предполагать, что это так.
Итак, вычислительная модель представляет собой систему из N уравнений с N неизвестными, которую запишем в виде
(5)
для всех (k, i) таких, что
(
). В граничных узлах полагаем Uk,i = =j(x, y), где точка (x, y) – ближайшая к точке (xk ,ti).
Встает вопрос о методе решения этой системы. Из курса «Численные методы» известны две основные группы таких методов: 1) точные методы (типа метода Гаусса); 2) методы последовательных приближений. При обосновании выбора метода решения полученной системы проведем анализ структуры матрицы этой системы. Для простоты, не затемняющей сути дела, предполагаем, что область G есть квадрат {0£ x £1, 0£ y £1}. В этом случае все граничные точки принадлежат прямым x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, а множество внутренних узлов
, где
.
Взяв n = 4, введем вектор неизвестных
, компоненты которого соответствуют неизвестным Uk,i следующим образом
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
|
U1,1 |
U1,2 |
U1,3 |
U2,1 |
U2,2 |
U2,3 |
U3,1 |
U3,2 |
U3,3 |
Тогда исследуемая система может быть записана в векторно-матричном виде
,
где X – описанный выше вектор неизвестных,
,
а матрица А имеет вид:
|
-4 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
-4 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
-4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
-4 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
-4 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
-4 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-4 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
-4 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
-4 |
Можно заметить следующее:
1) как следствие симметричности области G матрица A симметрична.
2) в 1-ой, 3-й, N-ой, N-2-й строках – 3 неизвестных элемента.
3) во 2-ой, 4-ой, N-1-ой, N-3-й – 4 неизвестных элемента.
4) в 5-й строке – 5 неизвестных элементов.
5) При уменьшении шага разбиения увеличивается значение N = (n – 1)2, при этом свойства 1), 2), 3), 4) сохраняются, а между 4-й и (N–3)-й строк появляется группа строк, аналогичных по структуре 5-й строке приведенной матрицы.
Итак, наибольшее количество неизвестных в строке матрицы системы равно 5 – все остальные (подавляющее большинство!) элементы равны нулю. Матрицы, обладающие такими свойствами, называются «редкими».
Поскольку в силу точности использованной при построении модели аппроксимации, характеризующейся величиной O (h2), приемлемая точность
может быть достигнута только при малых значениях шага h, то есть больших n. Например, в качестве допустимого значения можно взять h = 0,01, или n = 100. В этом случае порядок матрицы системы линейных уравнений равен
, а всего элементов матрицы
. При этом ненулевых элементов не более
, а нулевых не менее
.
Loading ...