Компьютерная модель «равновесие закрепленной мембраны» 6

Проведенное исследование позволяет сделать следующие выводы в отношении применения метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, полученных в вычислительной модели.

1) Если область G произвольной конфигурации (не обладает симметрией), то получение матрицы A весьма трудоемко и плохо алгоритмизуемо.

2) Структура матрицы системы A такова, что подавляющее большинство хранимых элементов равно нулю.

3) Прямой ход метода Гаусса приводит исходную систему к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей, которая структурно значительно хуже (в отношении количества ненулевых элементов) исходной «редкой» матрицы. Это наводит на мысль, что если для решения системы с «редкой» матрицей применим метод из группы «точных», то это должен быть какой-то специальный метод, отличный от метода Гаусса.

Отмеченные недостатки присущи только первой группе методов решения систем линейных алгебраических уравнений – «точным» или конечным.

В методах второй группы – последовательных приближений их, вообще говоря, не возникнет. Поэтому при решении систем уравнений с «редкими» матрицами предпочтение отдается методам последовательных приближений. Кроме того, эти методы отличаются устойчивостью относительно вычислительной погрешности, то есть абсолютная величина вычислительной погрешности не возрастает при проведении очередной итерации. Последнее обстоятельство очень важно при решении систем высокого порядка.

В качестве метода решения системы (5) выберем метод простых итераций, состоящий в последовательном нахождении векторов
, удовлетворяющих рекуррентному соотношению