Таким образом, алгоритм решения системы (5) чрезвычайно прост.
1) Выбирается некоторый начальный вектор
во всех внутренних точках.
2) Для всех векторов
в граничных узлах задаются граничные значения.
3) Во всех внутренних точках провести вычисления по формуле (6).
4) Повторяется пункт 3 до тех пор, пока не будут выполняться условия достижения заданной точности вычислений.
В качестве критерия точности выберем следующий прием. Пусть
- требуемая точность вычислений. Тогда будем повторять итерации, то есть пункт 3 до тех пор, пока не выполнится неравенство
=
£ e
Замечание. В программе нет необходимости сохранять все последовательные приближения. Достаточно иметь два массива
и
.
Однако, создавая программу решения любой задачи выбранным методом, надо быть уверенным в том, что этот метод приведет к решению данной задачи, а не к чему-нибудь совсем иному. В нашем случае речь идет о сходимости последовательности
. Если построенная последовательность сходится к
при
, то
– решение системы и все в порядке. В противном случае выбранный метод не приводит к решению.
Убедимся в сходимости предложенного процесса построения последовательности приближений
.
Из теории известно, что достаточным условием сходимости последовательности
является выполнение неравенства
,
где
- некоторая норма матрицы B, согласованная с соответствующей нормой вектора X.
В качестве нормы вектора X выберем так называемую первую норму вектора
.
Тогда норма
задается формулой
(8)
В формуле (8) вычисляются суммы модулей элементов матрицы B в каждой строке, а затем находится максимальная сумма.
В нашем случае
.
Это следует из того, что имеются строки, в которых четыре элемента равны
. Таким образом, классическое достаточное условие сходимости не выполнено.
Проведем более тонкое исследование. Разобьем все внутренние узлы
на
типов:
1 тип – множество всех узлов, у которых хотя бы один соседний узел граничный;
2 тип – множество всех узлов, у которых хотя бы один соседний узел принадлежит первому типу; и так далее.
Введем в рассмотрение матрицы
, где
–
-я степень матрицы B. Установим основные неравенства, связанные с матрицами
. Возьмем произвольный вектор
.
1)
.
В силу того, что
из полученного неравенства следует, что
. Иными словами при любом
выполнено неравенство
2) Введем обозначения
- абсолютная величина компоненты
-го типа. Тогда
для всех узлов первого типа;
для всех узлов второго типа;
для всех узлов третьего типа.
И, вообще, по индукции
3) из предыдущих пунктов следует, что
для всех узлов первого типа;
для всех узлов второго типа;
………………………………………………………………..
для всех узлов (
)-го типа;
для всех узлов j-го типа.
Таким образом,
Последнее условие позволяет оценить норму матрицы
,
.
Поскольку всего типов внутренних узлов
, постольку важной представляется оценка нормы матрицы
.
Loading ...