Оказывается, что матрица
является сжимающей матрицей (сжимающим оператором), то есть матрицей с нормой строго меньшей единицы. Тогда исходный процесс построения последовательных приближений в соответствии с равенством (7), можно переформулировать, а именно, заменить равенство (7) на равенство
или, обозначив
, получим ту же самую последовательность приближений, удовлетворяющую рекуррентным соответствиям
(9)
при
.
Сходимость процесса, удовлетворяющего формуле (9) гарантируется достаточным условием сходимости
.
Сделаем несколько очевидных выводов относительно скорости сходимости в предложенном методе простых итераций. Ясно, что норма
зависит от
. Мы установили оценку
, где
.
При большом значении числа
величина
приближается к 1. Это говорит о том, что чем выше порядок системы (9), то есть чем меньше величина шага разбиения
, тем ближе
к единице. Это значит, что при большом количестве внутренних узлов скорость сходимости процесса приближений, оставаясь геометрической, уменьшается.
Примеры
По приведенному ранее плану найдем положения равновесия для конкретных мембран. То есть, решим задачу Дирихле, рассмотренным ранее методом конечных разностей, для конкретных случаев выбора области G и плотности силы f(x, y). Во всех рассматриваемых далее примерах в качестве граничных условий была выбрана нулевая функция, то есть мембрана жестко закреплена на границе L.
Случай, когда область G квадрат {0£ x £1, 0£ y £1}, при различном выборе внешней силы f(x, y) приводит к следующим результатам (рис. 3).
|
рис. 3 |
 |
В рассмотренных примерах на рисунке (рис. 3) исходное дифференциальное уравнение аппроксимировалось разностями на сетке с шагом
. При этом вычислительная погрешность каждого из полученных решений не более
.
Интересен случай, когда в качестве области G выбран круг
. При решении задачи Дирихле на круге область G дискретизировалась равномерной сеткой с шагом
. Учет граничных условий производился рассмотренным ранее способом простого сноса, погрешность которого
. Общая погрешность решения не превосходит
. Результаты изображены на рисунке (рис. 4).
|
6 5 7 9 2 10 8 1 4 3 v u 6 3 2 1 7 4 5 v u 6 5 1 4 рис. 4 |
 |
Хорошую наглядность имеет случай, когда в качестве внешней силы выбрана функции Бесселя первого рода нулевого порядка
или ее модификации (рис. 5).
|
рис. 5 |
 |
Рисунки поверхностей (положение мембраны определенной формы в пространстве) были получены с помощью трехмерной графики. На занятиях по компьютерному моделированию от студентов требуется построение такого рода рисунки более упрощенным способом, точнее изображением только некоторых сечений поверхности плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy. При этом не требуется не изображать невидимые линии.
Список использованной литературы:
1. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. – М: госиздательство физико-математической литературы. 1951.
2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М: Наука. 1972.
3. Березин И. С., Жидков И. П. Методы вычислений, т. II. – М: госиздательство физико-математической литературы. 1960.
Loading ...