В прикладных исследованиях часто зависимость между переменными величинами удается описывать лишь табличными функциями. Для изучения же глубинных закономерностей связи зависимой и независимой переменных приходится решать задачу аппроксимации табличной функции некоторой аналитически задаваемой функцией, значения которой, по возможности, мало бы отличались от данных табличных значений.
Напомним, всякую аналитическую функцию, приближающую полученную опытным путем табличную функцию, называют эмпирической функцией, или эмпирической формулой.
Построение эмпирических функций состоит из двух этапов: сначала выявляют общий вид эмпирической функции, а затем определяют значения входящих в ее запись параметров так, чтобы искомая функция наилучшим образом приближала бы табличную функцию. Часто при определении значений упоминаемых параметров используют так называемый метод наименьших квадратов, или, по-другому, принцип Лежандра. Его суть состоит в том, что из функций , приближающих данную табличную, выбирается та, для которой сумма квадратов отклонений табличных значений от вычисляемых является наименьшей.
Метод наименьших квадратов достаточно просто реализуется в отношении поиска линейной эмпирической функции (линейная функция зависит всего от двух параметров – от углового коэффициента и начальной ординаты). Но в случае, когда данная табличная функция имеет широкий спектр значений, то следует ожидать, что ее лучше будет приближать нелинейная эмпирическая функция.
Для данной табличной функции
x
…
y
…
рассмотрим задачу нахождения эмпирической функции вида
, , (1)
где у табличной функции аргумент x принимает только положительные значения, а у функции (1) величины – параметры, подлежащие определению, показатели же – произвольные фиксированные вещественные числа.
Для определения значений параметров вычислим отклонения по ординатам каждой из n точек графика табличной функции от соответствующих точек графика аппроксимирующей функции (1). В соответствии с методом наименьших квадратов наилучшей функцией вида (1) считаем ту, для которой сумма будет наименьшей.
Перепишем S в виде:
. (2)
Теперь S можно рассматривать как функцию q переменных . Исследуем ее на экстремум в пространстве . В силу необходимого условия экстремума, должны выполняться соотношения или . Последние порождают следующую систему линейных уравнений относительно параметров :
(3)
Следуя терминологии, используемой при построении эмпирической линейной функции методом наименьших квадратов, систему (3) назовем нормальной системой уравнений для определения параметров . Это есть неоднородная система q линейных уравнений с q неизвестными.
Пусть
– (4)
определитель матрицы системы (3). Если , то система (3) будет совместной, определенной, и ее решение легко может быть найдено по правилу Крамера.
Пусть единственное решение системы (3). Покажем, что тогда точка в пространстве будет точкой глобального минимума функции (2).
Вычислим частные производные второго порядка функции (2): Для установления требуемого, в силу достаточных условий экстремума функции нескольких переменных в стационарной точке (см. [1], с. 422–424), нам нужно показать, что второй дифференциал функции S в точке будет положительным, то есть будет выполняться соотношение
(5)
при одновременном необращении в нуль дифференциалов .
Левая часть (5) есть квадратичная форма от переменных . Легко видеть, что она может быть представлена в виде , поэтому, очевидно, будет положительной, если .
Таким образом, действительно, точка является точкой глобального минимума функции (2). Отсюда имеем, что искомая эмпирическая функция есть функция
. (6)
Loading ...