З а м е ч а н и е 1. Если в (1) показатели таковы, что степени имеют смысл не только для положительных значений , то в качестве аргумента табличной и эмпирической функций могут выступать, очевидно, и неположительные значения. Так, если целые показатели, то могут быть любыми числами, отличными от нуля. Тогда эмпирическая функция может строиться на множестве . Если же показатели целые неотрицательные числа, то, очевидно, эмпирическая функция может строиться на множестве R.
Пусть в (1) , , . Тогда функция (1) становится линейной. Для такой функции нормальная система (3) примет вид
(7)
а определителем (4) будет являться определитель
= .
В силу неравенства между средним квадратичным и средним арифметическим n положительных чисел , заключаем, что будет иметь место условие . Значит, система (7) будет всегда совместной, а ее единственное решение будет порождать линейную эмпирическую функцию , наилучшим образом аппроксимирующую табличную функцию по методу наименьших квадратов.
Пусть теперь в (1) . Тогда функция (1) в своей записи будет содержать только две степени, то есть будет иметь вид . Для нее нормальная система запишется так:
(9)
Определитель матрицы этой системы есть величина
.
Последняя оценка вытекает из хорошо известного неравенства Коши-Буняковского
,
в котором равенство достигается лишь тогда, когда . Так что сис-
тема (9) всегда будет иметь единственное решение , а соответствующая эмпирическая функция будет иметь вид .
Ясно, что последняя методом наименьших квадратов может определяться и в том случае, когда аргумент х будет принимать не только положительные значения – лишь бы имели смысл степени .
Л и т е р а т у р а
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том I. – М.: Наука, 1966. – 608 с.
Loading ...