Разложения числа на слагаемые (пример нелинейного урока) – 2

Исследуем получаемые решения для различных значений n.

Таблица 1

В результате экспериментальной работы замечаем следующее.

1. Почти все целые положительные числа могут быть представлены в виде суммы чисел отрезка натурального ряда.

2. Однако ни для одного из чисел, являющихся степенью двойки

(2n, nN) не существует отрезка натурального ряда, сумма чисел которого равнялась бы числу 2n.

3. Простые числа могут быть так представлены в виде отрезка натурального ряда единственным способом.

4. Некоторые составные числа представляются многими способами:

945 = 2+3+4+…+42+43

945 = 10+…+44

945 = 17+…+46

945 = 22+…+48

945 = 35+…+55

945 = 44+…+61

945 = 56+…+70

945 = 61+…+74

945 = 90+…+99

945 = 101+…+109

945 = 132+…+138

945 = 155+…+160

945 = 187+…+191

945 = 314+…+316

945 = 472+473.

Но существуют составные числа представимые единственным способом в виде суммы последовательных натуральных чисел.

Таким образом, экспериментальная работа с программой позволяет сформулировать следующие задачи.

1. Доказать невозможность представления степеней двойки в виде суммы чисел отрезка натурального ряда.

2. Доказать, что простое число может быть представлено в виде суммы чисел отрезка натурального ряда только в случае, если отрезок включает два числа?

3. Существует ли формула для подсчета количества способов представления числа в виде суммы последовательных натуральных чисел?

4. Найти формулу для подсчета количества разложений числа на слагаемые.

Решение первых трех из поставленных задач основано на простых фактах.

Сумма чисел отрезка натурального ряда равна

(Ф1).

1. Чтобы число n было степенью двойки (2*a+k) и (k+1) должны быть степенями двойки одновременно, но это невозможно, так как они разной четности при k>0.

2. Допустим, n=p – простое. Тогда (Ф2), следовательно, (2*a+k)*(k+1)=2*p. Так как (2*a+k) и (k+1) разной четности, то одно из них равно 2, другое p. Или одно равно 1, другое 2p. Так как k>0, то (k+1)>1 и (2*a+k)>2. Следовательно, то k=1 и (2*a+k)=p, т. е. в разложении два слагаемых: первое – (Ф3), второе (Ф4).

3. Пусть (Ф5), где pi – нечётные простые делители числа n.

Похожие записи

• Нет ничего похожего