Так как (Ф6) и (2*a+k) и (k+1) разной четности, то каждому нечётному делителю за исключением 1 соответствует одно решение, т.к. каждый нечетный делитель может войти или во множитель (2*a+k), или в (k+1). Количеству нечётных делителей числа n равно произведению (l1+1)*(l2+1)*…*(lm+1). Стало быть, количество решений равно (l1+1)*(l2+1)*…*(lm+1)–1.
Примеры:
1) число 945=335171. Следовательно, количество разложений на сумму последовательных натуральных чисел равно (3+1)(1+1)(1+1) 1=15.
2) число 944=2459. Следовательно, количество разложений на сумму последовательных натуральных чисел равно (1+1) 1=1.
Установленный факт в частности отвечает и на вопрос когда имеется единственное разложение числа на последовательные натуральные слагаемые – когда нечётный простой делитель единственен и он входит в разложение числа в первой степени, например, число 12=223, число 1184=2537.
Определим (Ф6) – количество разложений числа n в сумму натуральных слагаемых n, (n 1), …, 2, 1. Для этого обратимся к рекурсивной программе. Заметим, что решение фактически разбивается на два случая:
1) если в разложении использовано слагаемое k, то необходимо разложить число (n k) в сумму натуральных слагаемых k, (k 1), …, 2, 1, при этом k(n k);
2) если в разложении не использовано слагаемое k, и необходимо разложить число n в сумму натуральных слагаемых (k 1), …, 2, 1.
Таким образом, данному рекурсивному алгоритму соответствует рекуррентная формула (Ф7), при kn . Очевидно, что при kn (Ф8), (Ф9).
Приведем таблицу значений (Ф10) для первых десяти чисел.
Таблица 2
Рассуждая аналогично, можно вывести формулу для подсчета количества разложений числа на сумму различных слагаемых [3].
Таким образом, классическая задача по программированию, с хорошо организованным экспериментом является источником для рождения гипотез и самостоятельного получения новых фактов, активизации межпредметных связей, развитию творческого мышления, интеллекта школьника.
Loading ...