Скалярное произведение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними

( , )=abcosj j=( )

Если =0 или =0, то ( )=0

Свойства скалярного произведения

1. Коммутативность: ( , )=( , )

2. Ассоциативность: (l , )=l ( , ) Следствие 1-2 : (l ,m )=(lm)( , )

3. Дистрибутивность (распределительный з-н): ( , + )=( , )+( , )

4. ( , )=a2 скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля 2= a2

Следствия:

1. a=

2. для ДСК:

•

5. ( , )=0

6. ( , )>0, если

( , )<0, если

7. ( , )>0, если

( , )<0, если

Выражение скалярного произведения в координатной форме

Следств

1. если

Пространственная теорема Пифагора

2. ( ) – в скалярной (координатной) форме

Векторы линейно зависимы, если существуют , не все одновременно обращающиеся в 0 , такие что имеет место равенство:

(2)

Если же равенство (2) имеет место только при (тривиальная система чисел), то линейно независимы.

Теолрема: (о линейной зависимости векторов)

Векторы линейно зависимы т. и т.т.к. один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Пусть и – ненулевые векторы, тогда следующие условия эквивалентны друг другу:

1. и – линейно зависимы

3. ||

Следствие: любые 2 неколлинеарных вектора линейно не зависимы, коллинеарные вектора – всегда линейно зависимы.

Замечание: для , : || равенство

Теорема: пусть , – неколлинеарные векторы, тогда любой , компланарный и может быть разложен единственным образом по системе векторов и

Следствие: любые 3 компланарных вектора линейно зависимы

Любые 3 некомпланарных вектора линейно независимы.