Геометрическая интерпретация теоремы – в условиях теоремы Флетта на отрезке [a,b] найдется такая точка ŋ, что касательная в ней в точности пройдет через левый конец отрезка.
Аналогично, для правого конца отрезка – в условиях теоремы Флетта на отрезке [a,b] найдется такая точка ŋ, что касательная в ней в точности пройдет через правый конец отрезка.
Пусть функция f: [a, b]→R, дифференцируема на [a,b] и f ‘(a) = f ‘(b).
Тогда внутри [a,b] найдется точка ŋ такая, что:
(1)
Доказательство:
Предположим, что f ‘ (a) = f ‘ (b) = 0.
Иначе рассматриваем функцию h(x)=f(x)–xf ‘(b).
В точке х=ŋ
(2)
Рассмотрим вспомогательную функцию g:[a,b]→R определенную следующими отношениями:
(3)
Очевидно, что функция g на [a, b] :
– непрерывная функция
По (3): f(x)-непрерывная, значит f(x)-f(b) также является непрерывной функцией, и при делении на линейную непрерывную функцию получаем, что g(x)-непрерывная функция;
– дифференцируема
Из уравнения (3) найдем производную функции g(x):
Применяя условие (3) запишем производную функции g(x) как:
для всех x
[a, b]. (4)
Ввиду условия (3), для доказательства теоремы мы должны показать, что существует точка ŋ
[a,b] такая, что g ‘(ŋ) =0.
На основании условия (3) и условия, что f ‘ (b) =0 получаем g(b)=0. Если g(a) =0, то по теореме Ролля существует точка ŋ
[a,b] такая, что g’(ŋ) =0 и теорема Флетта будет доказана.
Если же g (a) ≠ 0, тогда возможны два случая: g (a) > 0 или g (a)<0.
Предположим, что g (a) > 0. Тогда из условия (4), мы видим, что
Функция g – непрерывна и g ‘(a)<0, значит существует точка x1 из [a, b] такая, что g(x1)>g(a).
Следовательно, g(b)<g(a)<g(x1)
Тогда существует точка x02
[x1,b] такая, что g(x0)=g(a) (по теореме Коши о промежуточных значениях непрерывной функции).
Применяя теорему Ролля к функции g на интервале [a,x0], получаем g’(ŋ)=0 для некоторых ŋ
[a,b].
Аналогично можно доказать для g (a) < 0.
Т.к.
При умножении на (х-а) получаем:
В точке х=с
Что и требовалось доказать
Loading ...